Analysis Beispiele

$f (x) = {(4 - 3 x)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(4 - 3 x)}^{2}$ als $(4 - 3 x) (4 - 3 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [(4 - 3 x) (4 - 3 x)]$

Schritt 2

Multipliziere $(4 - 3 x) (4 - 3 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 (4 - 3 x) - 3 x (4 - 3 x)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) - 3 x (4 - 3 x)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) - 3 x \cdot 4 - 3 x (- 3 x)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 (- 3 x) - 3 x \cdot 4 - 3 x (- 3 x)]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 3 x \cdot 4 - 3 x (- 3 x)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x - 3 x (- 3 x)]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3 x \cdot x]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3 (x \cdot x)]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3 x^{2}]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 12 x - 12 x + 9 x^{2}]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $12 x$ von $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 - 24 x + 9 x^{2}]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - 24 x + 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 7

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$- 24 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 24 + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 24 + 9 (2 x)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- 24 + 18 x$

Schritt 12.2

Stelle die Terme um.

$18 x - 24$