Analysis Beispiele

$f (x) = (x - 1) e^{3 x + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = e^{3 x + 2}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 2}] + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x + 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 2$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 2$ .

$(x - 1) (e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + 0) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} \cdot 3 + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $(x - 1) e^{3 x + 2}$ .

$3 \cdot ((x - 1) e^{3 x + 2}) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + 0)$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} \cdot 1$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $e^{3 x + 2}$ mit $1$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 3 \cdot - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(3 x - 3) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$e^{3 x + 2} (3 x - 3) + e^{3 x + 2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{3 x + 2} (3 x) + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

Schritt 4.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 e^{3 x + 2} x + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

Schritt 4.4.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{3 x + 2}$ .

$3 e^{3 x + 2} x - 3 e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Schritt 4.5

Addiere $- 3 e^{3 x + 2}$ und $e^{3 x + 2}$ .

$3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$

Schritt 4.6

Stelle die Faktoren in $3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$ um.

$3 x e^{3 x + 2} - 2 e^{3 x + 2}$