Analysis Beispiele

$f (x) = (\sin (x) + \cos (x)) \sec (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\sin (x) \sec (x) + \cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) (- \sin (x))$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4

Multipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 6.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4.7

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.5

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.5.1

Stelle $\cos (x)$ und $\sec (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec (x) \cos (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.5.2

Schreibe $\cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.5.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.6

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.7

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sec (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.8

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.8.1

Stelle $\cos (x)$ und $\sec (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) \cos (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.8.2

Schreibe $\cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.8.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \sec (x) \sin (x)$

Schritt 6.5.9

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 6.5.10

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 6.6.1

Subtrahiere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 0 + 1$

Schritt 6.6.2

Addiere $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ und $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Schritt 6.7

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nach $\tan^{2} (x)$ um.

$\tan^{2} (x) + 1$

Schritt 6.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x)$