Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{1 - 9 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{1 - 9 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{1 - 9 y} = x$ um.

$\sqrt{1 - 9 y} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - 9 y}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - 9 y}$ als ${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - 9 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - 9 y)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$1 - 9 y = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y = x^{2} - 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y = x^{2} - 1$ durch $- 9$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y = x^{2} - 1$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 9} + \frac{- 1}{- 9}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 1}{- 9}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = - \frac{{(\sqrt{1 - 9 x})}^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(\sqrt{1 - 9 x})}^{2} + 1}{9}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Schreibe ${\sqrt{1 - 9 x}}^{2}$ als $1 - 9 x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - 9 x}$ als ${(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {({(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{9}$

Schritt 5.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{9}$

Schritt 5.2.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

Schritt 5.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- {(1 - 9 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{9}$

Schritt 5.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

Schritt 5.2.4.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- (1 - 9 x) + 1}{9}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 - (- 9 x) + 1}{9}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{- 1 + 9 x + 1}{9}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + 9 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $9 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - 9 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 (- \frac{x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{9}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 9 \frac{- x^{2}}{9} - 9 (\frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 (- 1) (\frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 9 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{9}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 - 1 (- x^{2}) - 9 (\frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + 1 x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 9 (\frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 (- 1) (\frac{1}{9})}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} + 9 \cdot (- 1 (\frac{1}{9}))}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 5.3.7.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{1 - 9 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{9} + \frac{1}{9}$