Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache $(y - 1) (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - x = y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - x - y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - y = x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - y = x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $1 (x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Schritt 5.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Schritt 5.3.4.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $1 (x - 1)$ heraus.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$