Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{1 + \ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $1 + \ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x$ .

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + \ln (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + \ln (x) - 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + \ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Addiere $0$ und $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$