Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 - 3 x - x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 - 3 x - x^{2}] - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 3 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - (2 x)) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 (4 - 3 x - x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) + (- 2 \cdot 4 - 2 (- 3 x) - 2 (- x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (- 3 - 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 (x \cdot x)) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- 2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $- 3 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $8 x$ von $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 6 x + 3$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.5.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.5.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$