Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x {(5 x + 3)}^{4}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x {(5 x + 3)}^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(5 x + 3)}^{4}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{4}] + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 5 x + 3$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + 3$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 3$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + 0)) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $5$ und $0$ .

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \cdot 5) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Schritt 4.8

Mutltipliziere ${(5 x + 3)}^{4}$ mit $1$ .

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $20$ mit $4$ .

$80 (x ({(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $4 {(5 x + 3)}^{3}$ aus $80 x {(5 x + 3)}^{3} + 4 {(5 x + 3)}^{4}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $4 {(5 x + 3)}^{3}$ aus $80 x {(5 x + 3)}^{3}$ heraus.

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $4 {(5 x + 3)}^{3}$ aus $4 {(5 x + 3)}^{4}$ heraus.

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4 {(5 x + 3)}^{3}$ aus $4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$ heraus.

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x + 5 x + 3)$

Schritt 5.4

Addiere $20 x$ und $5 x$ .

$4 {(5 x + 3)}^{3} (25 x + 3)$