Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 - 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 3.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{- 3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{- 6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$