Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x^{3} + 1)}^{7}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{7}] + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$3 (x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$3 (x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6} x^{2}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (x^{2 + 2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} (2 x))$

Schritt 7

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{3} + 1)}^{7}$ .

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + 2 \cdot {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $21$ mit $3$ .

$63 (x^{4} ({(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 ({(x^{3} + 1)}^{7} x)$

Schritt 8.4

Faktorisiere $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ aus $63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ heraus.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ aus $63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6}$ heraus.

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ aus $6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ heraus.

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ aus $3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$ heraus.

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3} + 2 (x^{3} + 1))$