Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} (5 - 3 x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} (- 3 (2 x)) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x^{3} (- 6 x) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{4} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 6 x^{4} + (5 - 3 x^{2}) (3 x^{2})$

Schritt 6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $5 - 3 x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 3 \cdot (5 - 3 x^{2}) x^{2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 x^{4} + (3 \cdot 5 + 3 (- 3 x^{2})) x^{2}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 x^{4} + 3 \cdot 5 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2} x^{2}$

Schritt 7.3.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2})$

Schritt 7.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2 + 2}$

Schritt 7.3.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{4}$

Schritt 7.3.4

Subtrahiere $9 x^{4}$ von $- 6 x^{4}$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$