Analysis Beispiele

$8 x \ln (8 x)$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x \ln (8 x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (8 x)$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$8 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$8 (x (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{8 x}$ und $x$ .

$8 (\frac{x}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{x}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 (\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\frac{1}{8} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{8}$ .

$8 (\frac{8}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{8}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 (1 \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\frac{d}{d x} [x]$ mit $1$ .

$8 (\frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (1 + \ln (8 x) \cdot 1)$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $\ln (8 x)$ mit $1$ .

$8 (1 + \ln (8 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot 1 + 8 \ln (8 x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + 8 \ln (8 x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$8 \ln (8 x) + 8$