Analysis Beispiele

$f (x) = {(3 x + 1)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(3 x + 1)}^{2}$ als $(3 x + 1) (3 x + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(3 x + 1) (3 x + 1)]$

Schritt 2

Multipliziere $(3 x + 1) (3 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $3 x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1]$

Schritt 3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6 x + 1]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 6 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 8

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$18 x + 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 x + 6 + 0$

Schritt 12

Addiere $18 x + 6$ und $0$ .

$18 x + 6$