Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{3 - x^{3}}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 - x^{3}}$ als ${(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ und $g (x) = 3 - x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 - x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 7.2

Kombiniere ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 7.3

Bringe ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 12

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (3 x^{2})$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} x^{2}$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{{(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.5

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2}}{{(- x^{3} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$