Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \log_{9} (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\log_{9} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (9)$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ mit $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ .

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{\ln (9) (\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (9)$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) (2 x))}{\ln (9) x^{4}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x + \ln (9) (- 2 \log_{9} (x) x)}{\ln (9) x^{4}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache $- 2 \log_{9} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)}{\ln (9) x^{4}}$

Schritt 9.1.2

Stelle die Faktoren in $x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)$ um.

$\frac{x - x \ln (9) \log_{9} (x^{2})}{\ln (9) x^{4}}$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (9)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x$ heraus.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2})$ heraus.

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (9)}$

Schritt 9.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (9)}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (9)}$

Schritt 9.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

Schritt 9.4

Zerlege $\log_{9} (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

Schritt 9.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} \ln (9)$ heraus.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (9) \log_{9} (x) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Schritt 9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (9) \log_{9} (x)$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Schritt 9.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Schritt 9.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Schritt 9.10

Schreibe $- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ als $- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Schritt 9.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1}{x^{3} \ln (9)}$