Analysis Beispiele

$\ln (x + \sqrt{3 + x^{2}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 + x^{2}}$ als ${(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3 + x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(3 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(3 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(3 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(3 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(3 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 9.3

Bringe ${(3 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + x^{2}])$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{2}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 14.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ um.

$(1 + \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $1 + \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.3.2

Kombinieren.

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 15.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 15.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 15.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6

Mutltipliziere ${(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.7.1

Multipliziere ${(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.7.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 15.7.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(3 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Schritt 15.7.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(3 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.7.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(3 + x^{2})}^{1}}$

Schritt 15.7.2

Vereinfache ${(3 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 + x^{2}}$

Schritt 15.7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{{(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(3 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3}$