Analysis Beispiele

$\ln (\csc (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von $\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ um.

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

Schritt 6.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

Schritt 6.3

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

Schritt 6.4

Multipliziere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Schritt 6.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ in den Zähler.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Schritt 6.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Schritt 6.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.7

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$- \cot (x)$