Analysis Beispiele

$\ln (\cos (x^{2}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x^{2})$ .

$\frac{1}{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ nach $\sec (x^{2})$ um.

$\sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sec (x^{2}) (- \sin (x^{2}) (2 x))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\sec (x^{2}) (- 2 \sin (x^{2}) x)$ um.

$- 2 x \sec (x^{2}) \sin (x^{2})$

Schritt 5.2

Schreibe $\sec (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 5.3

Multipliziere $- 2 x \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \frac{- 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{- 2}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 5.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cdot x}{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

Schritt 5.6

Kombiniere $\sin (x^{2})$ und $\frac{2 x}{\cos (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x^{2}) (2 x)}{\cos (x^{2})}$

Schritt 5.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (x^{2})$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x^{2}) x}{\cos (x^{2})}$

Schritt 5.8

Separiere Brüche.

$- (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})$

Schritt 5.9

Wandle von $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ nach $\tan (x^{2})$ um.

$- (\frac{2 x}{1} \tan (x^{2}))$

Schritt 5.10

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$- (2 x \tan (x^{2}))$

Schritt 5.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x \tan (x^{2})$