Analysis Beispiele

$\tan (\sin (x^{2}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \sin (x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x^{2})$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2}) (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $\sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2}) (2 x)$ um.

$2 x \sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2})$

Schritt 4.2

Schreibe $\sec (\sin (x^{2}))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 x {(\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})}^{2} \cos (x^{2})$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ an.

$2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 x \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Schritt 4.5

Multipliziere $2 x \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

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Schritt 4.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

$x \frac{2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ .

$\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Schritt 4.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))} \cos (x^{2})$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{2 x}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$ und $\cos (x^{2})$ .

$\frac{2 x \cos (x^{2})}{\cos^{2} (\sin (x^{2}))}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $\cos (\sin (x^{2}))$ aus $\cos^{2} (\sin (x^{2}))$ heraus.

$\frac{2 x \cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2})) \cos (\sin (x^{2}))}$

Schritt 4.9

Separiere Brüche.

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Schritt 4.10

Schreibe $\frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$ als ein Produkt um.

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Schritt 4.11

Schreibe $\cos (x^{2})$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\frac{\cos (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Schritt 4.12

Vereinfache.

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Schritt 4.12.1

Dividiere $\cos (x^{2})$ durch $1$ .

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Schritt 4.12.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ nach $\sec (\sin (x^{2}))$ um.

$\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Schritt 4.13

Multipliziere $\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$ .

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Schritt 4.13.1

Kombiniere $\cos (x^{2})$ und $\frac{2 x}{\cos (\sin (x^{2}))}$ .

$\frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\cos (\sin (x^{2}))} \sec (\sin (x^{2}))$

Schritt 4.13.2

Kombiniere $\frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\cos (\sin (x^{2}))}$ und $\sec (\sin (x^{2}))$ .

$\frac{\cos (x^{2}) (2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Schritt 4.14

Separiere Brüche.

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{\cos (x^{2})}{\cos (\sin (x^{2}))}$ als ein Produkt um.

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Schritt 4.16

Schreibe $\cos (x^{2})$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\frac{\cos (x^{2})}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Schritt 4.17

Vereinfache.

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Schritt 4.17.1

Dividiere $\cos (x^{2})$ durch $1$ .

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))})$

Schritt 4.17.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (\sin (x^{2}))}$ nach $\sec (\sin (x^{2}))$ um.

$\frac{(2 x) \sec (\sin (x^{2}))}{1} (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Schritt 4.18

Dividiere $(2 x) \sec (\sin (x^{2}))$ durch $1$ .

$(2 x) \sec (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$

Schritt 4.19

Multipliziere $(2 x) \sec (\sin (x^{2})) (\cos (x^{2}) \sec (\sin (x^{2})))$ .

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Schritt 4.19.1

Potenziere $\sec (\sin (x^{2}))$ mit $1$ .

$2 x (\sec^{1} (\sin (x^{2})) \sec (\sin (x^{2}))) \cos (x^{2})$

Schritt 4.19.2

Potenziere $\sec (\sin (x^{2}))$ mit $1$ .

$2 x (\sec^{1} (\sin (x^{2})) \sec^{1} (\sin (x^{2}))) \cos (x^{2})$

Schritt 4.19.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x {\sec (\sin (x^{2}))}^{1 + 1} \cos (x^{2})$

Schritt 4.19.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x \sec^{2} (\sin (x^{2})) \cos (x^{2})$