Analysis Beispiele

$x (27 - x) (18 - 2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x (27 - x)$ und $g (x) = 18 - 2 x$ .

$x (27 - x) \frac{d}{d x} [18 - 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $18 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (27 - x) (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Schritt 2.2

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (27 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (27 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (27 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (27 - x) (- 2 \cdot 1) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x (27 - x) \cdot - 2 + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x (27 - x)$ .

$- 2 \cdot (x (27 - x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 27 - x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [27 - x] + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $27 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \cdot - 1 + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- 1 \cdot x + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + (27 - x) \cdot 1)$

Schritt 4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $27 - x$ mit $1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + 27 - x)$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 27)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 27)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + (18 - 2 x) (- 2 x) + (18 - 2 x) \cdot 27$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) \cdot 27$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5

Vereine die Terme

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 2$ .

$- 54 x - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 54 x + 2 x \cdot x + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 54 x + 2 (x^{1} x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 54 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 54 x + 2 x^{1 + 1} + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $18$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x \cdot x + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 (x^{1} x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{1 + 1} + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.13

Mutltipliziere $18$ mit $27$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 486 - 2 x \cdot 27$

Schritt 5.5.14

Mutltipliziere $27$ mit $- 2$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 486 - 54 x$

Schritt 5.5.15

Subtrahiere $54 x$ von $- 36 x$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 90 x + 4 x^{2} + 486$

Schritt 5.5.16

Subtrahiere $90 x$ von $- 54 x$ .

$2 x^{2} - 144 x + 4 x^{2} + 486$

Schritt 5.5.17

Addiere $2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 144 x + 486$