Analysis Beispiele

$\tan (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.2

Kombiniere $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}}$