Analysis Beispiele

$y = (8 x + 5) (x^{2} - 3 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 8 x + 5$ und $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

$(8 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$(8 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(8 x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Schritt 2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3 \cdot 1) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x + 5]$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) (8 + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Addiere $8$ und $0$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x) \cdot 8$

Schritt 2.11.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{2} - 3 x$ .

$(8 x + 5) (2 x - 3) + 8 \cdot (x^{2} - 3 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(8 x + 5) (2 x - 3) + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(8 x + 5) (2 x) + (8 x + 5) \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x (2 x) + 5 (2 x) + (8 x + 5) \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x (2 x) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 x \cdot x + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$16 (x^{1} x) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$16 (x^{1} x^{1}) + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 x^{1 + 1} + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$16 x^{2} + 5 (2 x) + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$16 x^{2} + 10 x + 8 x \cdot - 3 + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$16 x^{2} + 10 x - 24 x + 5 \cdot - 3 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$16 x^{2} + 10 x - 24 x - 15 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.9

Subtrahiere $24 x$ von $10 x$ .

$16 x^{2} - 14 x - 15 + 8 x^{2} + 8 (- 3 x)$

Schritt 3.5.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$16 x^{2} - 14 x - 15 + 8 x^{2} - 24 x$

Schritt 3.5.11

Addiere $16 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$24 x^{2} - 14 x - 15 - 24 x$

Schritt 3.5.12

Subtrahiere $24 x$ von $- 14 x$ .

$24 x^{2} - 38 x - 15$