Analysis Beispiele

$y = (5 x - 1) (4 + 3 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 x - 1$ und $g (x) = 4 + 3 x$ .

$(5 x - 1) \frac{d}{d x} [4 + 3 x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(5 x - 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(5 x - 1) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(5 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x]) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Schritt 2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $5 x - 1$ .

$3 \cdot (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x] + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (5 x - 1) \cdot 1 + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) (5 + 0)$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.1

Addiere $5$ und $0$ .

$3 (5 x - 1) + (4 + 3 x) \cdot 5$

Schritt 2.13.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $4 + 3 x$ .

$3 (5 x - 1) + 5 \cdot (4 + 3 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (5 x) + 3 \cdot - 1 + 5 (4 + 3 x)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (5 x) + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 x + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$15 x - 3 + 5 \cdot 4 + 5 (3 x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$15 x - 3 + 20 + 5 (3 x)$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x - 3 + 20 + 15 x$

Schritt 3.3.5

Addiere $- 3$ und $20$ .

$15 x + 17 + 15 x$

Schritt 3.3.6

Addiere $15 x$ und $15 x$ .

$30 x + 17$