Analysis Beispiele

$y = (3 x - 2 x^{2}) (5 + 4 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x - 2 x^{2}$ und $g (x) = 5 + 4 x$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 + 4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Schritt 2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Schritt 2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $3 x - 2 x^{2}$ .

$4 \cdot (3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) \cdot 1 + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Schritt 2.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Schritt 2.12

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 (2 x))$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Schritt 3.5.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x + 4 x (- 4 x)$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x \cdot x$

Schritt 3.5.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x)$

Schritt 3.5.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x^{1})$

Schritt 3.5.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{1 + 1}$

Schritt 3.5.10

Addiere $1$ und $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{2}$

Schritt 3.5.11

Subtrahiere $20 x$ von $12 x$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 - 8 x - 16 x^{2}$

Schritt 3.5.12

Subtrahiere $8 x$ von $12 x$ .

$4 x - 8 x^{2} + 15 - 16 x^{2}$

Schritt 3.5.13

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $- 8 x^{2}$ .

$4 x - 24 x^{2} + 15$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$- 24 x^{2} + 4 x + 15$