Analysis Beispiele

$y = (x^{2} + 1) (x + 5 + \frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x + 5 + \frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 5 + \frac{1}{x}] + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5 + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x + 0)$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + (x + 5 + \frac{1}{x}) (2 x)$

Schritt 2.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 5 + \frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - x^{- 2}) + 2 \cdot (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x + 5 + \frac{1}{x}) x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + (2 x + 2 \cdot 5 + 2 \frac{1}{x}) x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Schritt 3.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Schritt 3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Schritt 3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + 2 \frac{1}{x} x$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2 \frac{1}{x} x$

Schritt 3.4.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2}{x} x$

Schritt 3.4.7

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $x$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

Schritt 3.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + \frac{2 x}{x}$

Schritt 3.4.8.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$(x^{2} + 1) (1 - \frac{1}{x^{2}}) + 2 x^{2} + 10 x + 2$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Schritt 3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1

Multipliziere $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 (x^{2} + 1) - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Schritt 3.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) + 10 x + 2$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Schritt 3.6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.2.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Schritt 3.6.2.1.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Schritt 3.6.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Schritt 3.6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Schritt 3.6.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + 10 x + 2$

Schritt 3.6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Schritt 3.6.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x^{2} + x^{2} + 0 - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Schritt 3.6.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$2 x^{2} + x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$

Schritt 3.7

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 10 x + 2$