Analysis Beispiele

$y = {(\arctan (6 x))}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \arctan (6 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\arctan (6 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\arctan (6 x)$ .

$2 \arctan (6 x) \frac{d}{d x} [\arctan (6 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $6 x$ .

$2 \arctan (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \arctan (6 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $6 x$ .

$2 \arctan (6 x) (\frac{1}{1 + {(6 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$2 \arctan (6 x) (\frac{1}{1 + {(6 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $6 (x)$ an.

$2 \arctan (6 x) (\frac{1}{1 + 6^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$2 \arctan (6 x) (\frac{1}{1 + 36 x^{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + 36 x^{2}}$ und $2$ .

$\frac{2}{1 + 36 x^{2}} \arctan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{1 + 36 x^{2}}$ und $\arctan (6 x)$ .

$\frac{2 \arctan (6 x)}{1 + 36 x^{2}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \arctan (6 x)}{1 + 36 x^{2}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $6$ und $\frac{2 \arctan (6 x)}{1 + 36 x^{2}}$ .

$\frac{6 (2 \arctan (6 x))}{1 + 36 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{12 \arctan (6 x)}{1 + 36 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{12 \arctan (6 x)}{1 + 36 x^{2}} \cdot 1$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $\frac{12 \arctan (6 x)}{1 + 36 x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{12 \arctan (6 x)}{1 + 36 x^{2}}$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{12 \arctan (6 x)}{36 x^{2} + 1}$