Analysis Beispiele

$y = (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 13 x^{2} - 26 x + 26$ und $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 7 x$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 7 x$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $(13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}$ .

$- 7 \cdot ((13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [13 x^{2} - 26 x + 26]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $13 x^{2} - 26 x + 26$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26]$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

Schritt 3.5

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13 x^{2}$ nach $x$ gleich $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (13 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x + \frac{d}{d x} [- 26 x] + \frac{d}{d x} [26])$

Schritt 3.8

Da $- 26$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 26 x$ nach $x$ gleich $- 26 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [26])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [26])$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 26$ mit $1$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 + \frac{d}{d x} [26])$

Schritt 3.11

Da $26$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $26$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26 + 0)$

Schritt 3.12

Addiere $26 x - 26$ und $0$ .

$- 7 (13 x^{2} - 26 x + 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 7 (13 x^{2}) - 7 (- 26 x) - 7 \cdot 26) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 7 (13 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x - 26)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 7 (13 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $13$ mit $- 7$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 26 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 26$ mit $- 7$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 26 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $26$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) + e^{- 7 x} \cdot - 26$

Schritt 4.4.4

Bringe $- 26$ auf die linke Seite von $e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (26 x) - 26 \cdot e^{- 7 x}$

Schritt 4.4.5

Addiere $182 x e^{- 7 x}$ und $e^{- 7 x} (26 x)$ .

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Schritt 4.4.5.1

Bewege $e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 182 x e^{- 7 x} + 26 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} - 26 e^{- 7 x}$

Schritt 4.4.5.2

Addiere $182 x e^{- 7 x}$ und $26 x e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 182 e^{- 7 x} - 26 e^{- 7 x}$

Schritt 4.4.6

Subtrahiere $26 e^{- 7 x}$ von $- 182 e^{- 7 x}$ .

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 208 e^{- 7 x}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$- 91 e^{- 7 x} x^{2} + 208 e^{- 7 x} x - 208 e^{- 7 x}$

Schritt 4.6

Stelle die Faktoren in $- 91 e^{- 7 x} x^{2} + 208 e^{- 7 x} x - 208 e^{- 7 x}$ um.

$- 91 x^{2} e^{- 7 x} + 208 x e^{- 7 x} - 208 e^{- 7 x}$