Analysis Beispiele

$x \cos (x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\cos (x^{2})$ mit $1$ .

$x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2})$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$- 2 x^{2} \sin (x^{2}) + \cos (x^{2})$