Analysis Beispiele

$x \arctan (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \arctan (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\arctan (x)$ mit $1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x)$

Schritt 4

Um $\arctan (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + \arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\arctan (x)$ mit $1$ .

$\frac{x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.2.2

Stelle die Faktoren in $x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}$ um.

$\frac{x + \arctan (x) + x^{2} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} \arctan (x) + x + \arctan (x)}{x^{2} + 1}$