Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\sec (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1

Stelle $\cos (x)$ und $\sec (x)$ um.

$\sec (x) \cos (x) \tan (x)$

Schritt 6.1.2

Schreibe $\cos (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)$

Schritt 6.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$1 \tan (x)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan (x)$

Schritt 6.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x)$