Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\frac{2 x}{x + 3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{2 x}{x + 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{2 x}{x + 3}$ zu dividieren.

$1 \frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{2 x}$ mit $1$ .

$\frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x + 3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$\frac{x + 3}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}])$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x + 3}{2 x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.4

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.5

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x}$ mit $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3)}{x {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 3$ und ${(x + 3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.7.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $3 (x + 3)$ heraus.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.6.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.7.2.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $x {(x + 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Schritt 5.6.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Schritt 5.6.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x (x + 3)}$