Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (e^{9 x} + 4)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{9 x} + 4$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{9 x} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{9 x} + 4$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{9 x} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $9 x$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 x$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 x}$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 \cdot e^{9 x} + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 e^{9 x} + 0)$

Schritt 4.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.1

Addiere $9 e^{9 x}$ und $0$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 e^{9 x})$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{e^{9 x} + 4}$ .

$\frac{9}{e^{9 x} + 4} e^{9 x}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{9}{e^{9 x} + 4}$ und $e^{9 x}$ .

$\frac{9 e^{9 x}}{e^{9 x} + 4}$