Analysis Beispiele

$\ln (| \cos (x) |)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | \cos (x) |$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| \cos (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| \cos (x) |$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} \frac{d}{d x} [| \cos (x) |]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{| \cos (x) |} (\frac{\cos (x)}{| \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{| \cos (x) |}$ mit $\frac{1}{| \cos (x) |}$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos (x) | | \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{\cos (x)}{| \cos (x) \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{1} (x) \cos (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (x)}{| {\cos (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 9

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |} (- \sin (x))$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{| \cos^{2} (x) |}$ und $\sin (x)$ .

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{| \cos^{2} (x) |}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$- \frac{\cos (x) (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\cos (x) (\sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 11.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$- \tan (x)$