Analysis Beispiele

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + 0)$

Schritt 2.9

Addiere $6 x - 2$ und $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$ um.

$(6 x - 2) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $6 x - 2$ mit $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{6 x - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $6 x - 2$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x) - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (3 x) + 2 (- 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (3 x - 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$