Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{5 x^{6} - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 5 x^{6} - 1$ .

$\frac{(5 x^{6} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{6} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 x^{6} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (5 x^{6} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{6} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{6}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + 0)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $30 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $30$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{2} x^{5}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x^{5}$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 (x^{5} x^{2})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{5 + 2}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $5$ und $2$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (5 x^{6}) + 2 \cdot - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (5 x^{6}) x + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere $x^{6}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (5 (x \cdot x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{6}$ .

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (5 (x^{1} x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (5 x^{1 + 6}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.1.3

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{2 (5 x^{7}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{7} + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{10 x^{7} - 2 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $30 x^{7}$ von $10 x^{7}$ .

$\frac{- 20 x^{7} - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $2 x$ aus $- 20 x^{7} - 2 x$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 20 x^{7}$ heraus.

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)$ heraus.

$\frac{2 x (- 10 x^{6} - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 10 x^{6}$ heraus.

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1 (1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (10 x^{6}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{2 x (- (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.8

Schreibe $- (10 x^{6} + 1)$ als $- 1 (10 x^{6} + 1)$ um.

$\frac{2 x (- 1 (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$ um.

$- \frac{2 x (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$