Analysis Beispiele

$y = \frac{7^{x}}{\log_{7} (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 7^{x}$ und $g (x) = \log_{7} (x)$ .

$\frac{\log_{7} (x) \frac{d}{d x} [7^{x}] - 7^{x} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)]}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - 7^{x} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)]}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\log_{7} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - 7^{x} \frac{1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (7)}$ und $7^{x}$ .

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln (7) \log_{7} (x) \cdot 7^{x} - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.1.2

Stelle die Faktoren in $\ln (7) \log_{7} (x) \cdot 7^{x} - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ um.

$\frac{7^{x} \ln (7) \log_{7} (x) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $7^{x}$ aus $7^{x} \ln (7) \log_{7} (x) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $7^{x}$ aus $7^{x} \ln (7) \log_{7} (x)$ heraus.

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $7^{x}$ aus $- \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ heraus.

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) + 7^{x} (- \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $7^{x}$ aus $7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) + 7^{x} (- \frac{1}{x \ln (7)})$ heraus.

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x) - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.2

Um $\ln (7) \log_{7} (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x \ln (7)}{x \ln (7)}$ .

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x) \cdot \frac{x \ln (7)}{x \ln (7)} - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\ln (7) \log_{7} (x)$ und $\frac{x \ln (7)}{x \ln (7)}$ .

$\frac{7^{x} (\frac{\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7))}{x \ln (7)} - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7^{x} \frac{\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7)) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Multipliziere $\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7))$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Potenziere $\ln (7)$ mit $1$ .

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x (\ln^{1} (7) \ln (7))) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.5.1.2

Potenziere $\ln (7)$ mit $1$ .

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7))) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x {\ln (7)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x \ln^{2} (7)) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{7^{x} \frac{\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere $7^{x}$ und $\frac{\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7)} \cdot \frac{1}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.5

Kombinieren.

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $7^{x}$ mit $1$ .

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

Schritt 5.7

Stelle die Faktoren in $\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$ um.

$\frac{7^{x} (x \ln^{2} (7) \log_{7} (x) - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$