Analysis Beispiele

$y = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$ als ${(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(e^{x} + e^{- x})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{x} + e^{- x}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{x} + e^{- x}$ .

$2 (- {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 ({(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 6

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 6.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 6.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 2 {(e^{x} + e^{- x})}^{- 2} (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 7.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} (e^{x} - e^{- x})$ um.

$- (e^{x} - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- e^{x} - - e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.5

Multipliziere $- - e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(- e^{x} + 1 e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$(- e^{x} + e^{- x}) \frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- e^{x} + e^{- x}$ mit $\frac{2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{(- e^{x} + e^{- x}) \cdot 2}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $- e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{2 \cdot (- e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{2 (- (e^{x}) + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $e^{- x}$ heraus.

$\frac{2 (- (e^{x}) - 1 (- e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x}) - 1 (- e^{- x})$ heraus.

$\frac{2 (- (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.11

Schreibe $- (e^{x} - e^{- x})$ als $- 1 (e^{x} - e^{- x})$ um.

$\frac{2 (- 1 (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Schritt 7.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$