Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \sqrt{64 - x^{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8}))$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{64 - x^{2}}$ als ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} (x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8}))]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} (x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8}))$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8})]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64 \arcsin (\frac{x}{8})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 64 - x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $64 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $64 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{{(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 8.3

Bringe ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 10

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 14.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 18

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 20.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 23

Mutltipliziere ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 24

Um ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 26

Multipliziere ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 26.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 26.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 26.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{1}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 27

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 27.1

Vereinfache ${(64 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 27.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [64 \arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 27.3

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 \arcsin (\frac{x}{8})$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{8})]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 64 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{8})])$

Schritt 28

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{8}$ .

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Schritt 28.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{x}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 64 (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{8}]))$

Schritt 28.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 64 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{8}]))$

Schritt 28.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{8}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 64 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{8}]))$

Schritt 29

Differenziere.

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Schritt 29.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ und $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{64}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{8}])$

Schritt 29.2

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{64}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} (\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 29.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 29.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{64}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{64}{8 \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 29.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $8$ .

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Schritt 29.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 \cdot 8}{8 \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 29.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 29.3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}})} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 29.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 \cdot 8}{8 \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 29.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 29.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \cdot 1)$

Schritt 29.5

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}})$

Schritt 30

Um $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}})$

Schritt 31

Um $\frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \cdot \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 32

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 32.1

Mutltipliziere $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} \cdot \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 32.2

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ mit $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 32.3

Stelle die Faktoren von $\sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}} + \frac{8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}})$

Schritt 33

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$

Schritt 34

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}})}$

Schritt 35

Vereinfache.

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Schritt 35.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{8}$ an.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(\frac{x}{8})}^{2}}}$

Schritt 35.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{8}$ an.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 35.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 35.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1^{2} - \frac{x^{2}}{8^{2}}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{8^{2}}$ als ${(\frac{x}{8})}^{2}$ um.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{8})}^{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{8}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{(1 + \frac{x}{8}) (1 - \frac{x}{8})} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{(\frac{8}{8} + \frac{x}{8}) (1 - \frac{x}{8})} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{8 + x}{8} (1 - \frac{x}{8})} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{8 + x}{8} (\frac{8}{8} - \frac{x}{8})} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{8 + x}{8} \cdot \frac{8 - x}{8}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.8

Mutltipliziere $\frac{8 + x}{8}$ mit $\frac{8 - x}{8}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \cdot 8}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.9

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{64}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.10

Schreibe $\frac{(8 + x) (8 - x)}{64}$ als ${(\frac{1}{8})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ um.

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Schritt 35.3.1.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(8 + x) (8 - x)$ heraus.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{64}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $8^{2}$ aus $64$ heraus.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{8^{2} \cdot 1}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{8^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \sqrt{{(\frac{1}{8})}^{2} ((8 + x) (8 - x))} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) (\frac{1}{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.12

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\frac{(- 2 x^{2} + 64) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 35.3.1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.14.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{2 (4)} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x^{2}) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{2 \cdot 4} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.14.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.15

Kombiniere $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 64 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 35.3.1.16.1

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 8 (8) \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 8 \cdot 8 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.17

Um $8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{4}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.18

Kombiniere $8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}}{4} + \frac{8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- \sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2} + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 35.3.1.20.1

Faktorisiere $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ aus $- \sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2} + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4$ heraus.

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Schritt 35.3.1.20.1.1

Faktorisiere $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ aus $- \sqrt{(8 + x) (8 - x)} x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2}) + 8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.20.1.2

Faktorisiere $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ aus $8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)} \cdot 4$ heraus.

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2}) + \sqrt{(8 + x) (8 - x)} (8 \cdot 4)}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.20.1.3

Faktorisiere $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ aus $\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2}) + \sqrt{(8 + x) (8 - x)} (8 \cdot 4)$ heraus.

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 8 \cdot 4)}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.1.20.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 32)}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.2

Um $8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 32)}{4} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.3

Kombiniere $8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 32)}{4} + \frac{8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 35.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ als ${((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{{((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.2

Multipliziere $(8 + x) (8 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 35.3.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(8 (8 - x) + x (8 - x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 35.3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 35.3.5.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{\frac{{(64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.3.1.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + 8 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 35.3.5.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{{(64 - 8 x + 8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.3.2

Addiere $- 8 x$ und $8 x$ .

$\frac{\frac{{(64 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.3.3

Addiere $64$ und $0$ .

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 32) + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x^{2}) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 32 + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 32 + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.6

Bringe $32$ auf die linke Seite von ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 32 \cdot {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.7

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{\frac{- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 32 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 32 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.8

Addiere $32 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $32 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 64 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9

Schreibe $- {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 64 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 35.3.5.9.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{\frac{- ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 64 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.2

Faktorisiere $u_{3}$ aus $- u_{3} x^{2} + 64 u_{3}$ heraus.

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Schritt 35.3.5.9.2.1

Faktorisiere $u_{3}$ aus $- u_{3} x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{u_{3} (- x^{2}) + 64 u_{3}}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.2.2

Faktorisiere $u_{3}$ aus $64 u_{3}$ heraus.

$\frac{\frac{u_{3} (- x^{2}) + u_{3} \cdot 64}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.2.3

Faktorisiere $u_{3}$ aus $u_{3} (- x^{2}) + u_{3} \cdot 64$ heraus.

$\frac{\frac{u_{3} (- x^{2} + 64)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{\frac{u_{3} (- x^{2} + 8^{2})}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.4

Stelle $- x^{2}$ und $8^{2}$ um.

$\frac{\frac{u_{3} (8^{2} - x^{2})}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8$ und $b = x$ .

$\frac{\frac{u_{3} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.6

Ersetze alle $u_{3}$ durch ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.7

Vereinfache.

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Schritt 35.3.5.9.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.7.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.8

Es sei $u_{4} = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{4}$ für alle ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(8 u_{4} + u_{4} x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.9

Faktorisiere $u_{4}$ aus $8 u_{4} + u_{4} x$ heraus.

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Schritt 35.3.5.9.9.1

Faktorisiere $u_{4}$ aus $8 u_{4}$ heraus.

$\frac{\frac{(u_{4} \cdot 8 + u_{4} x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.9.2

Faktorisiere $u_{4}$ aus $u_{4} x$ heraus.

$\frac{\frac{(u_{4} \cdot 8 + u_{4} (x)) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.9.3

Faktorisiere $u_{4}$ aus $u_{4} \cdot 8 + u_{4} (x)$ heraus.

$\frac{\frac{u_{4} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.3.5.9.10

Ersetze alle $u_{4}$ durch ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{8^{2}}}}$

Schritt 35.4

Vereine die Terme

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Schritt 35.4.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$

Schritt 35.4.2

Schreibe $\frac{\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$ als ein Produkt um.

$\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4} \cdot \frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$

Schritt 35.4.3

Mutltipliziere $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4}$ mit $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$ .

$\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{4 (2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}})}$

Schritt 35.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{8 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}})}$

Schritt 35.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 + x) (8 - x)}{8 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$

Schritt 35.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{64}}}$

Schritt 35.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 35.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{64}{64} - \frac{x^{2}}{64}}}$

Schritt 35.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{64 - x^{2}}{64}}}$

Schritt 35.5.3

Schreibe $\frac{64 - x^{2}}{64}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 35.5.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{8^{2} - x^{2}}{64}}}$

Schritt 35.5.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8$ und $b = x$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{64}}}$

Schritt 35.5.4

Schreibe $\frac{(8 + x) (8 - x)}{64}$ als ${(\frac{1}{8})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ um.

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Schritt 35.5.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(8 + x) (8 - x)$ heraus.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{64}}}$

Schritt 35.5.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $8^{2}$ aus $64$ heraus.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{8^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 35.5.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{8^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \sqrt{{(\frac{1}{8})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}}$

Schritt 35.5.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 (\frac{1}{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)})}$

Schritt 35.5.6

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{8 \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}}$

Schritt 35.6

Kombiniere $8$ und $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\frac{8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}}$

Schritt 35.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 35.7.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 35.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\frac{8 \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8}}$

Schritt 35.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{1}}$

Schritt 35.7.2

Dividiere $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ durch $1$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$

Schritt 35.8

Mutltipliziere $\frac{(8 + x) (8 - x)}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$

Schritt 35.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 35.9.1

Mutltipliziere $\frac{(8 + x) (8 - x)}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{\sqrt{(8 + x) (8 - x)} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$

Schritt 35.9.2

Potenziere $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{1} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}$

Schritt 35.9.3

Potenziere $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{1} {\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{1}}$

Schritt 35.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 35.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{2}}$

Schritt 35.9.6

Schreibe ${\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}^{2}$ als $(8 + x) (8 - x)$ um.

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Schritt 35.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ als ${((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{({((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 35.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{((8 + x) (8 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 35.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{((8 + x) (8 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 35.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 35.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{((8 + x) (8 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 35.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{{((8 + x) (8 - x))}^{1}}$

Schritt 35.9.6.5

Vereinfache.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{(8 + x) (8 - x)}$

Schritt 35.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 + x$ .

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Schritt 35.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(8 + x) (8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{(8 + x) (8 - x)}$

Schritt 35.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8 - x}$

Schritt 35.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 - x$ .

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Schritt 35.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(8 - x) \sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{8 - x}$

Schritt 35.11.2

Dividiere $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ durch $1$ .

$\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$