Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{24 x^{2} + 8}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{24 x^{2} + 8}]$ als $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $24 x^{2} + 8$ als $2^{3} (3 x^{2} + 1)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8}]$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8 (1)}]$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2} + 1)}]$

Schritt 1.1.4

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2^{3} (3 x^{2} + 1)}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x^{2} + 1}$ als ${(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 8.3

Bringe ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + 0)$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x)$

Schritt 14.2

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Schritt 14.4

Kombiniere $\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 14.5

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$