Analysis Beispiele

$y = x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 2.5.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3}{3} x^{2}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- x^{2}}{1}$

Schritt 3.6.2.4

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - x^{2}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$x^{3} - x^{2} + 4 x^{3} \ln (x)$