Analysis Beispiele

$y = {\sin (x)}^{\tan (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ als $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ durch Herausziehen von $\tan (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \tan (x) \ln (\sin (x))$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x) \ln (\sin (x))$ .

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 6

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 7

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \sec^{2} (x))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x)) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) \sec^{2} (x))$

Schritt 8.2

Entferne die Klammern.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \tan (x) \csc (x) \cos (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.2

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\ln (\sin (x))$ .

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.3

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.4

Multipliziere $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 8.4.4.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ .

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\sin (x)} \cos (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.4.2

Kombiniere $\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x)}{\sin (x)} \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.6

Kombinieren.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sin (x)}{\sin (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sin (x)}{\sin (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.8.2

Dividiere $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ durch $1$ .

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.9

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.10

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\ln (\sin (x))$ .

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.11

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.12

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.14

Kombiniere $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

Schritt 8.4.15

Kombiniere $\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\cos^{2} (x)}$ und $\ln (\sin (x))$ .

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Separiere Brüche.

$e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.5.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.5.3

Dividiere $\ln (\sin (x))$ durch $1$ .

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.4.1

Separiere Brüche.

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.5.4.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \tan (x)} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.5.4.3

Dividiere $\ln (\sin (x))$ durch $1$ .

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$