Analysis Beispiele

$y = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 2.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ um.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 4.2

Addiere $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ und $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$