Analysis Beispiele

$y = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{2} (x)$ und $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 5

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\sec (x)}^{2 + 2} \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (x)$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (x)$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Schritt 7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (x)$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \cdot \tan^{2} (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 8

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 9

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec (x) \sec (x)$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) \sec (x)$

Schritt 11

Addiere $1$ und $2$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec (x) \sec (x)$

Schritt 12

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x))$

Schritt 13

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$