Analysis Beispiele

$y = arcsec (3 x^{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = 3 x^{3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arcsec (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{{(3 x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{{(3 (x^{3}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $3 (x^{3})$ an.

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{3^{2} {(x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 {(x^{3})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{3 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ .

$\frac{3}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} (3 x^{2})$

Schritt 2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ .

$\frac{3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}} x^{2}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $\frac{3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.6.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}}$

Schritt 2.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} \sqrt{9 x^{6} - 1}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \sqrt{9 x^{6} - 1})}$

Schritt 2.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \sqrt{9 x^{6} - 1})}$

Schritt 2.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x \sqrt{9 x^{6} - 1}}$