Analysis Beispiele

$y = e^{\sin (x^{2})}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x^{2})$ .

$e^{\sin (x^{2})} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$e^{\sin (x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$e^{\sin (x^{2})} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$e^{\sin (x^{2})} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{\sin (x^{2})} \cos (x^{2}) (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $e^{\sin (x^{2})} \cos (x^{2}) (2 x)$ um.

$2 e^{\sin (x^{2})} x \cos (x^{2})$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{\sin (x^{2})} x \cos (x^{2})$ um.

$2 x e^{\sin (x^{2})} \cos (x^{2})$