Analysis Beispiele

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{9}{7}}$ und $g (x) = 3 x^{4} + 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{9}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x^{4} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{9}{7}$ und ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ .

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ mit $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Schritt 9

Bringe ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Multipliziere ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ mit ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.1

Bewege ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ .

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Schritt 10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Schritt 10.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Schritt 10.1.4

Addiere $- 2$ und $9$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Schritt 10.1.5

Dividiere $7$ durch $7$ .

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Schritt 10.2

Vereinfache $7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 14

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 15

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

Schritt 17

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Schritt 18.2

Vereine die Terme

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Schritt 18.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

Schritt 18.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

Schritt 18.3

Stelle die Faktoren von $\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ um.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

Schritt 18.4

Faktorisiere $7 x$ aus $21 x^{4} + 35 x$ heraus.

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Schritt 18.4.1

Faktorisiere $7 x$ aus $21 x^{4}$ heraus.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

Schritt 18.4.2

Faktorisiere $7 x$ aus $35 x$ heraus.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

Schritt 18.4.3

Faktorisiere $7 x$ aus $7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ heraus.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Schritt 18.5

Mutltipliziere $12 x^{3} + 5$ mit $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ .

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

Schritt 18.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $12 x^{3} + 5$ .

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$