Analysis Beispiele

$y = \frac{\ln (x)}{4 x + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x + 7$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [4 x + 7]}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + \frac{d}{d x} [7])}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) (4 + 0)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 4}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x + 7) \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 4 \frac{1}{x} + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 + 7 \frac{1}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 + \frac{7}{x} - 4 \ln (x)}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $- 4 \ln (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4})}{{(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Kombinieren.

$\frac{x (4 + \frac{7}{x} - \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 4 + x \frac{7}{x} + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot 4 + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 x + 7 + x (- \ln (x^{4}))}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x \ln (x^{4}) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \ln (x^{4})$ heraus.

$\frac{- (x \ln (x^{4})) + 4 x + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \ln (x^{4})) - (- 4 x)$ heraus.

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) + 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.8

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \ln (x^{4}) - 4 x) - 1 (- 7)$ heraus.

$\frac{- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.10

Schreibe $- (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ als $- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)$ um.

$\frac{- 1 (x \ln (x^{4}) - 4 x - 7)}{x {(4 x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \ln (x^{4}) - 4 x - 7}{x {(4 x + 7)}^{2}}$