Analysis Beispiele

$y = \arctan ({(3 x)}^{2})$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(3 (x))}^{2})]$

Schritt 1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [\arctan (3^{2} x^{2})]$

Schritt 1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (9 x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 9 x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(9 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{1 + {(9 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $9 (x^{2})$ an.

$\frac{1}{1 + 9^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 81 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 81 x^{4}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{1 + 81 x^{4}}$ .

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{9}{1 + 81 x^{4}} (2 x)$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{9}{1 + 81 x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{1 + 81 x^{4}} x$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18}{1 + 81 x^{4}} x$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{18}{1 + 81 x^{4}}$ und $x$ .

$\frac{18 x}{1 + 81 x^{4}}$

Schritt 3.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{18 x}{81 x^{4} + 1}$