Analysis Beispiele

$y = e^{4 \sqrt{x} + x^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 10

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 12

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 x)$