Analysis Beispiele

$y = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ heraus.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Schritt 2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Schritt 2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Schritt 2.4.4.2.4

Dividiere $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ durch $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Schritt 2.4.5

Stelle die Faktoren in $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ um.

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$